Question

某企業在第一年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價格比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%，若第n年初M的價值為a_n
（1）求a₃a₇；
（2）求第n年初M的價值的表達式a_n；
（3）求數列a_n的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列，當n≥6時，數列{a_n}是以a₆為首項，公比為

3

4

的等比數列，由此能求出a₃a₇．
（2）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列，當n≥6時，數列{a_n}是以a₆為首項，公比為

3

4

的等比數列，由此能求出第n年初M的價值的表達式a_n．
（3）由等差及等比數列的求和公式能求出數列a_n的前n項和S_n．

解答： 解：（1）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列．
∴a₃=120-10（3-1）=100，
當n≥6時，數列{a_n}是以a₆為首項，公比為

3

4

的等比數列，
∴a₇=70×(

3

4

)7-6=

105

2

，
∴a₃a₇=100×

105

2

=5250．
（2）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列．
a_n=120-10（n-1）=130-10n．
當n≥6時，數列{a_n}是以a₆為首項，公比為

3

4

的等比數列，
又a₆=70，∴an=70×(

3

4

)n-6．
∴第n年初，M的價值a_n的表達式為：
an=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（3）由等差及等比數列的求和公式得：
當1≤n≤6時，S_n=130n-10（1+2+3+…+n）
=130n-10×

n(n+1)

2

=125n-5n²．
當n≥7時，S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×

3

4

×4×[1-(

3

4

)n-6]
=780-210×(

3

4

)n-6．
∴S_n=

125n-n2，1≤n≤6 780-210×( 3 4 )n-6，n≥7

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．