Question

【題目】已知函數f（x）=loga（a＞0，且a≠1）

（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（2）若對于x∈[2，4]，恒有f（x）＞loga成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）a＞1時，0＜m＜15，0＜a＜1時，m＞16

【解析】

試題分析：（1）判斷函數奇偶性首先判斷定義域是否對稱，在定義域對稱的前提下判斷與的關系來確定奇偶性；（2）將不等式利用對數函數的單調性化簡，轉化為真數的大小關系，利用分離參數法將不等式變形，通過求解構造的函數的最值得到m的取值范圍

試題解析：（1）因為＞解得x＞1或x＜﹣1，

所以函數f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），……………1分

函數f（x）為奇函數，證明如下：

由（I）知函數f（x）的定義域關于原點對稱，

又因為f（﹣x）=loga=loga=loga（）﹣1=﹣loga

=﹣f（x）， ………………………………3分

所以函數f（x）為奇函數…………………4分

（2）若對于x∈[2，4]，f（x）＞loga恒成立

即loga＞loga對x∈[2，4]恒成立…………5分

當a＞1時，即＞對x∈[2，4]成立．

則x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，

設g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因為x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

則0＜m＜15， ………………………………8分

同理當0＜a＜1時，即＜對x∈[2，4]成立．

則x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，

設g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因為x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

則m＞16，………………………………………………11分

綜上所述：a＞1時，0＜m＜15，

0＜a＜1時，m＞16 …………………12分．