Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，點A，B的坐標分別是（0，﹣3），（0，3）直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是﹣ ．
（1）求點M的軌跡L的方程；
（2）若直線L經(jīng)過點P（4，1），與軌跡L有且僅有一個公共點，求直線L的方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）設(shè)M（x，y），則：
（x≠0）；
∴點M的軌跡方程為：x2+2y2=18（x≠0）；
（2）若直線L不存在斜率，則方程為：x=4；
x=4帶入軌跡方程可得y=±1，即直線L和軌跡L有兩個公共點，不合題意；
∴設(shè)直線L斜率為k，則方程為：y=kx﹣4k+1，帶入軌跡方程并整理得：
（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；
∵直線L與軌跡L只有一個公共點，所以：
△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；
解得k=﹣2；
∴直線L的方程為：y=﹣2x+9．
【解析】（1）求M點的軌跡方程，所以設(shè)M（x，y），根據(jù)直線AM，BM的斜率之積是﹣ ， 即可求得關(guān)于x，y的等式，即點M的軌跡方程：x2+2y2=18；
（2）若直線L不存在斜率，則容易判斷它和軌跡L有兩個交點，不合題意；存在斜率時設(shè)斜率為k，然后根據(jù)直線L經(jīng)過點P可寫出直線L的方程，將直線方程帶入軌跡方程可得到關(guān)于x的方程，讓該方程有一個解求k即可得到直線L的方程．
【考點精析】利用一般式方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時為0）．