Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）設PD的中點為M，求證：AM∥平面PBC；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，證明，即可證得AM∥平面PBC；
（2）求出，利用向量夾角公式，即可求得PA與平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）證明：如圖建立空間直角坐標系，設PD=CD=2AD=2，BC=a，則A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．    …（3分）
設平面PBC的一個法向量為，則
，
∴ax+y（2-a）-2z=0，2y-2z=0
令z=1得．         …（7分）
而，所以，即，
又AM?平面PBC
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）解：，設PA與平面PBC所成角為α，
由直線與平面所成角的向量公式有sinα===． …（12分）
點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，確定平面的法向量，屬于中檔題．