Question

已知奇函數f（x），偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求證：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）設f（x）的反函數時，比較f^-1[g（x）]與-1的大小，證明你的結論；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比較f（n）與nf（1）的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根據函數的奇偶性進行化簡，得到關于f（x）與g（x）的方程組，解之即可求出函數f（x）的解析式，從而證得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根據互為反函數的單調性的關系可得出y=f^-1（x）是R上的減函數，再將-1代入，可求出f（-1）的值，結合反函數的單調性比較大小即得；
（3）欲比較f（n）與nf（1）的大小，先作差，再構成函數．根據導數研究此函數的單調性，從而得到證明．
解答：證明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，∴-f（x）+g（x）=a^-x…2分
∴f（x）=，g（x）=． …3分
∴f（x）g（x）=，即f（2x）=2f（x）g（x）．…5分
（2）∵，∴是R上的減函數，
∴y=f^-1（x）是R上的減函數．…6分
又∵，
∴，
∴f^-1[g（x）]≤-1．…8分
（3）．10分
構成函數．

當x＞1，n≥2時，∅'（x）＞0，
∴∅（x）在[1，+∞）上是增函數．
a＞1時，∅（a）＞∅（1），即（aⁿ-a^-n-na+na^-1）＞（1-1-n+n）=0，
∴f（n）-nf（1）＞0，即f（n）＞nf（1）．（13分）．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，根據函數的奇偶性與題設中所給的解析式求出兩個函數的解析式，此是函數奇偶性運用的一個技巧．屬于基礎題．