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已知函數f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3

(I)當a=1時,求函數f(x)在點(1,f(1))的切線方程;
(Ⅱ)求a>2時,函數f(x)在區間(-1,1)上的極值.
分析:(I)當a=1時,利用導數的幾何意義,確定切線的斜率,求得切點坐標,即可得到切線方程;
(II)當a>2時,求導函數,確定函數的單調性,從而可得函數f(x)的極大值和極小值.
解答:解:(I)當a=1時,f(x)=
1
3
x3-x2+
2
3
,f′(x)=x2-2x…(2分)
∴k=f′(1)=1-2=-1,f(1)=
1
3
-1+
2
3
=0,
∴y-0=-(x-1)
即x+y-1=0為所求切線方程.…(4分)
(II)f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
,f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-
2
a
),
令f'(x)=0得x=0或x=
2
a
…(6分)
當a>2時,0<
2
a
<1,
令f'(x)>0可得x<0或x>
2
a
;令f'(x)<0可得0<x<
2
a

∴f(x)在(-1,0)遞增,在(0,
2
a
)遞減,在(
2
a
,1)遞增
∴f(x)的極大值為f(0)=
2
3
,f(x)的極小值為f(
2
a
)=-
4
3a
+
2
3
…(10分)
點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性與極值,正確求導,恰當計算是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)、已知函數f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值范圍是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數在區間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數,請說明理由;
(2)若函數f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數,求m的取值范圍.

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同步練習冊答案
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