Question

不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny對一切非零實數x，y均成立，則實數a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：由對勾函數的性質，我們可以求出不等式左邊的最小值，再由三角函數的性質，我們可以求出siny的最大值，若不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立，則|a-2|≤1，解這個絕對值不等式，即可得到答案．

解答：解：∵x+

1

x

∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴|x+

1

x

|∈[2，+∞），其最小值為2
又∵siny的最大值為1
故不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立時，
有|a-2|≤1
解得a∈[1，3]
故答案為[1，3]

點評：本題考查的知識點是絕對值三角不等式的解法，其中根據對勾函數及三角函數的性質，將不等式|x+

1

x

|≥|a-2|+siny恒成立轉化為|a-2|≤1，是解答本題的關鍵．