Question

已知數列{an}滿足a1＞0，an+1=2－，。

（1）若a1，a2，a3成等比數列，求a1的值；

（2）是否存在a1，使數列{an}為等差數列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

(1) 或 ;(2) 當且僅當時，數列為等差數列．

【解析】

試題分析：(1) 把表示為的式子，通過對的范圍進行討論去掉絕對值符號，根據成等比數列可得關于的方程，解出即可；

（2）假設這樣的等差數列存在，則成等差數列，即，將（1）的過程代入，得到關于的方程，分情況①當時②當時,求得進行判斷；看是否與矛盾.此題的難點在與討論絕對值的幾何意義，去絕對值.

試題解析：（1）∵，∴，．

（ⅰ）當時，，

由，，成等比數列得：

∴，解得． 3分

（ⅱ）當時，

∴，解得（舍去）或．

綜上可得或． 6分

（2）假設這樣的等差數列存在，則

由，得，即．

（ⅰ）當時，，解得，從而（），此時是一個等差數列； 9分

（ⅱ）當時，，解得，與矛盾；

綜上可知，當且僅當時，數列為等差數列． 12分

考點：1.等差與等比數列；2.絕對值的意義.