Question

已知{b_n}是公比大于1的等比數列，b₁，b₃是函數f（x）=x²-5x+4的兩個零點．
（I）求數列{b_n}的通項公式；
（II）若數列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+n+2，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤63，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中{b_n}是公比大于1的等比數列，b₁，b₃是函數f（x）=x²-5x+4的兩個零點，我們易求出數列{b_n}的首項及公比，進而得到數列{b_n}的通項公式；
（II）由（I）的結論及數列{a_n}滿足a_n=log₂b_n+n+2，我們易求出數列{a_n}的通項公式，進而求出a₁+a₂+a₃+…+a_m的表達式，由此可以構造一個關于m的不等式，解不等式即可得到m的最大值．

解答：解：（I）因為b₁，b₃是函數f（x）=x²-5x+4的兩個零點，
所以b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，故有

b1b3=4 b1+b3=5

．
因為公比大于1，所以b₁=1，b₃=4，則b₂=2．…．（3分）
所以，等比數列{b_n}的公比為

b2

b1

=2，b_n=b₁q^n-1=2^n-1．…（6分）
（II）a_n=log₂b_n+n+2=log₂2^n-1+n+2=2n+1．
所以，數列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數列．…．（9分）
故有a1+a2+a3+…+am=3m+

1

2

m(m-1)•2=m2+2m≤63．
即m²+2m-63≤0．
解得-9≤m≤7．所以m的最大值是7．…．（12分）

點評：本題考查的知識點是等比數列的通項公式，等差數列的通項公式及前n項和的公式，其中（I）的關鍵是求出數列{b_n}的首項及公比，（II）的關鍵將a₁+a₂+a₃+…+a_m≤63，轉化為一個關于m的不等式．