Question

如圖，已知⊥平面，∥，=2，且是的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面BCE⊥平面；

（3）求此多面體的體積．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內的一條直線平行即可．本題取CE中點P，連結FP、BP，易證明ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP，進而證明∥平面；（2）要證明面面垂直，只需證明一個平面經過另一個平面的一條垂線．本題易證明AF⊥平面CDE，而AB∥FP，故BP⊥平面CDE，進而證明平面BCE⊥平面；（3）該多面體是一個以C為頂點，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，底面為直角梯形，易求其面積，故只需求四棱錐的高，由面面，故等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高，利用棱錐的體積公式計算即可．

試題解析：（1）取CE中點P，連結FP、BP，

∵F為CD的中點，

∴FP∥DE，且FP= 1分

又AB∥DE，且AB= ∴AB∥FP，且AB=FP， 2分

∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP． 3分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF∥平面BCE 4分

（2）∵，所以△ACD為正三角形，∴AF⊥CD 5分

∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD 6分

又AF平面ACD ∴DE⊥AF 7分

又AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE 8分

又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE 又∵BP平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE 9分

（3）此多面體是一個以C為頂點，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，

， 10分

等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高 11分

12分

考點：1、直線和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、幾何體體積．