【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形,
的長(zhǎng)分別為
和
,上部是圓心為
的劣弧
,
.
(1)求圖1中拱門最高點(diǎn)到地面的距離;
(2)現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒,放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示.設(shè)
與地面水平線
所成的角為
.記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離為
,試用
的函數(shù)表示
,并求出
的最大值.
【答案】(1)拱門最高點(diǎn)到地面的距離為.(2)
,其最大值為
【解析】
(1)求出圓的半徑,結(jié)合圓和RT△的性質(zhì)求出拱門最高點(diǎn)到地面的距離即可;
(2)通過討論P點(diǎn)所在的位置以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出h的最大值即可.
(1)如圖,過作與地面垂直的直線交
于點(diǎn)
,交劣弧
于點(diǎn)
,
的
長(zhǎng)即為拱門最高點(diǎn)到地面的距離.
在中,
,
,
所以,圓的半徑
.
所以.
答:拱門最高點(diǎn)到地面的距離為.
(2)在拱門放倒過程中,過點(diǎn)作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點(diǎn)
.
當(dāng)點(diǎn)在劣弧
上時(shí),拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離
等于圓
的半徑長(zhǎng)與圓心
到地面距離之和;
當(dāng)點(diǎn)在線段
上時(shí),拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離
等于點(diǎn)
到地面的距離.
由(1)知,在中,
.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
為
軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系.
當(dāng)點(diǎn)在劣弧
上時(shí),
.
由,
,
由三角函數(shù)定義,
得
,
則.
所以當(dāng)即
時(shí),
取得最大值
.
當(dāng)點(diǎn)在線段
上時(shí),
.設(shè)
,在
中,
,
.
由,得
.
所以
.
又當(dāng)時(shí),
.
所以在
上遞增.
所以當(dāng)時(shí),
取得最大值
.
因?yàn)?/span>,所以
的最大值為
.
綜上,藝術(shù)拱門在放倒的過程中,拱門上的點(diǎn)到地面距離的最大值為()
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),m∈R
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對(duì)任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:
;
(Ⅲ)設(shè),記
在區(qū)間
上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),過
與
軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)
,且
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),問是否存在直線
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
,
,且
的垂直平分線恰好過
點(diǎn)?若存在,求出直線
斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點(diǎn),底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求證:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點(diǎn),試確定
的值,使得二面角Q—BD—P為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)
的直線與拋物線
相交于
,
兩點(diǎn),弦
的中點(diǎn)
的軌跡記為
.
(1)求的方程;
(2)已知直線與
相交于
,
兩點(diǎn).
(i)求的取值范圍;
(ii)軸上是否存在點(diǎn)
,使得當(dāng)
變動(dòng)時(shí),總有
?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題,其中正確命題有( )
A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底
B.已知向量,則
與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.是空間四點(diǎn),若
不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么
共面
D.已知向量組是空間的一個(gè)基底,若
,則
也是空間的一個(gè)基底
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
,
,三個(gè)函數(shù)的定義域均為集合
.
(1)若,試判斷集合
與
的關(guān)系,并說明理由;
(2)記,是否存在
,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)
,函數(shù)
有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)?若存在,求出滿足條件的最小正整數(shù)
;若不存在,說明理由.(以下數(shù)據(jù)供參考:
,
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種樹苗中各抽測(cè)了10株樹苗的高度,其莖葉圖如圖.根據(jù)莖葉圖,下列描述正確的是( )
A.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,且甲種樹苗比乙種樹苗長(zhǎng)得整齊
B.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,但乙種樹苗比甲種樹苗長(zhǎng)得整齊
C.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,且乙種樹苗比甲種樹苗長(zhǎng)得整齊
D.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,但甲種樹苗比乙種樹苗長(zhǎng)得整齊
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