Question

已知實數a，b滿足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O為坐標原點，則△AOB的面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：過點A作AM⊥y軸于M，或點B作BN⊥x軸于點N，延長MA，NB交于點P．進而可推斷出S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB，用a，b分別表示它們的面積整理求得S_△AOB的表達式，進而利用基本不等式求得ab的范圍，進而求得△AOB的面積的取值范圍．

解答：解：∵a²+b²=1 且a＞0，b＞0 則0＜a＜1，0＜b＜1
過點A作AM⊥y軸于M，或點B作BN⊥x軸于點N，延長MA，NB交于點P．
則S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB
=1-1•

a

2

-1

b

2

-

1

2

（1-a）（1-b）
=

1

2

-

ab

2

∵1=a²+b²≥2ab，∴ab≤

1

2

[當a=b=

2

2

2時等號成立]
又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴ab＞0
∴-

1

4

≤-

ab

2

＜0
∴

1

4

≤

1

2

-

ab

2

＜

1

2

即

1

4

≤S_△AOB＜

1

2

故答案為：[

1

4

，

1

2

)

點評：本題主要考查了圓與方程的綜合應用．考查了學生數形結合思想的運用和基礎知識的綜合運用．