Question

已知實數a、b滿足a-2b+3≥0，且使得函數f(x)=

1

3

x3+ax2+bx無極值，則

b+1

a+2

的取值范圍為（　　）

• A．[-2

  5

  -4，2

  5

  -4]
• B．[2

  5

  -4，

  13

  14

  ]
• C．[2

  5

  -4，2]
• D．[

  13

  14

  ，2]

Answer 1

分析：先求導數f′（x），根據函數f（x）無極值可得f′（x）=0至多有一實根，從而可得關于a，b的不等式，連同a-2b+3≥0可作出滿足條件的點（a，b）構成的區域，

b+1

a+2

的幾何意義為兩點（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，利用線性規劃知識即可求得斜率的最大值及最小值．

解答：解：f′（x）=x²+2ax+b，
因為函數f（x）無極值，所以有△=4a²-4b≤0，即a²≤b．
又a-2b+3≥0，則滿足條件的點（a，b）構成的區域如下陰影所示：
由

a-2b+3=0 a2=b

解得a=-1或

3

2

，則兩交點為（-1，1），（

3

2

，

9

4

），

b+1

a+2

的幾何意義為兩點（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，
則斜率最大值為

1-(-1)

-1-(-2)

=2，
設過點（-2，-1）的切線方程為b+1=k（a+2）①，a²=b②，由①②消b得a²-ka-2k+1=0，則△=k²-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2

5

，-4-2

5

（舍），
即斜率的最小值為-4+2

5

．
所以

b+1

a+2

的取值范圍為[2

5

-4，2]．
故選C．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及線性規劃知識，考查學生綜合運用知識分析問題的能力，解決本題的關鍵是對

b+1

a+2

的幾何意義的理解及正確轉化，本題屬中檔題．