(
)，其中
.(Ⅰ)當(dāng)
時，求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程；
(Ⅱ)當(dāng)
時，求函數(shù)
的極大值和極小值；
(Ⅲ)當(dāng)
時，證明存在
，使得不等式
對任意的
恒成立.
本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程，函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
(Ⅰ)解：當(dāng)時，，得，且
，.
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得
.
(Ⅱ)解：
.
令，解得
或
.
由于
，以下分兩種情況討論.
(1)若
，當(dāng)
變化時，
的正負(fù)如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函數(shù)
在
處取得極小值
，且
；
函數(shù)
在
處取得極大值
，且
.
(2)若
，當(dāng)
變化時，
的正負(fù)如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此，函數(shù)
在
處取得極小值
，且
；
函數(shù)
在
處取得極大值
，且
.
(Ⅲ)證明：由
，得
，當(dāng)
時，
，
.
由(Ⅱ)知，
在
上是減函數(shù)，要使
，
只要
即
①
設(shè)
，則函數(shù)
在
上的最大值為
.
要使①式恒成立，必須
，即
或
.
所以，在區(qū)間
上存在
，使得
對任意的
恒成立.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（08年靜安區(qū)質(zhì)檢） 設(shè)函數(shù)
＝
，其中
．
（1）在實(shí)數(shù)集
上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（08年沈陽市東北育才學(xué)校一模） (12分)設(shè)函數(shù)
，
，
其中
，記函數(shù)
的最大值與最小值的差為
。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）畫出函數(shù)
的圖象并指出
的最小值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆四川省成都市高二5月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
，
，其中
，a、b為常數(shù)，已知曲線
在點(diǎn)（2,0）處有相同的切線
。
（1）求a、b的值，并寫出切線的方程；
（2）求函數(shù)
單調(diào)區(qū)間與極值。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建師大附中高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題
（本小題12分）設(shè)函數(shù)
，
，其中
，將
的最小值記為
．
（I）求的表達(dá)式；
（II）設(shè)
，討論
在區(qū)間
內(nèi)的單調(diào)性．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題
（本小題滿分15分）
設(shè)函數(shù)
，
（其中
是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)的極大值；
（II）若
時，恒有
成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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