Question

如圖2-14,已知O是正方形ABCD中邊BC的中點,AP與以O為圓心,OB為半徑的半圓切于T點.求AT∶TP的值.

圖2-14

Answer 1

思路分析:注意到AB、AT為切線,PT、PC為切線,則想到連結OA、OT、OP,構造切線長定理的基本圖形,要求AT∶TP,則只需求AB∶PC,這可以通過解直角三角形或△ABO∽△OCP求得.

解法一:連結AO、TO、OP.?

∵四邊形ABCD為正方形,?

∴BC⊥AB,BC⊥CD.?

又∵BC為⊙O的直徑,?

∴AB、DC為⊙O的切線,切點為B、C.?

∵AT、AB切⊙O于T、B,?

∴AT =AB且∠AOB =∠AOT.?

∵PT、PC切⊙O于T、C,?

∴PT =PC且∠POT =∠POC.?

又∵∠AOB +∠AOT +∠POT +∠POC =180°,?

∴∠AOB +∠POC =∠AOP =90°.?

又∠ABO =90°,∴∠POC=∠BAO.?

∴Rt△ABO∽△Rt△OCP.∴= =.?

∴OB =2CP.∴AB =2OC =2OB =4CP,?

即AT∶TP =4∶1.

解法二:先證得∠BAO =∠POC(方法同上).?

在Rt△ABO中,tan∠BAO = =,?

在Rt△OCP中,PC =OC·tan∠POC ==×=,?

∴AT∶TP =4∶1.

解法三:先證得AT =AB,PT =PC(方法同上).?

設正方形邊長為a,PT =PC =x,則PD =a-x.?

又∵AT =AB =AD =a,在Rt△ADP中,AD²+DP² =AP²,?

即a²+(a -x)²=(a +x)²,解得.?

∴AT∶TP =4∶1.