Question

已知過點(-2，

3

)的直線l與圓C：x²+y²+4x=0相交的弦長為2

3

，則圓C的圓心坐標是

（-2，0）

，直線l的斜率為

±

2

．

Answer 1

分析：將圓的方程化為標準方程，可得出圓心C的坐標和半徑r，根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由半徑r及弦長的一半求出圓心C到直線l的距離，設出直線l的斜率為k，由直線l過（-2，

3

），表示出直線l的方程，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：將圓C的方程化為標準方程得：（x+2）²+y²=4，
可得圓心C（-2，0），半徑r=2，
顯然直線l的斜率存在，設斜率為k，又直線l過（-2，

3

），
故直線l方程為y-

3

=k（x+2），即kx-y+2k+

3

=0，
∵弦長為2

3

，半徑r=2，
∴圓心C到直線l的距離d=

22-( 3 )2

=1，
即

3

1+k2

=1，整理得：k²=2，
解得：k=±

2

．
故答案為：（-2，0）；±

2

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及圓的標準方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，直線的點斜式方程，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．