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設偶函數y=f(x)和奇函數y=g(x)的圖象如圖所示:集合A={x|f(g(x)-t)=0}與集合B={x|g(f(x)-t)=0}的元素個數分別為a,b,若
1
2
<t<1,則a+b的值不可能是(  )
分析:利用圖象,分別判斷g(x)=t和f(x)=t,在
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2
<t<1時的取值情況,然后進行討論即可.
解答:解:由條件知,第一個圖象為f(x)的圖象,第二個為g(x)的圖象.
由圖象可知若f(x)=0,則x有3個解,為x=-
3
2
,x=0,x=
3
2
,若g(x)=0,則x有3個解,不妨設為x=n,x=0,x=-n,(0<n<1)
由f(g(x)-t)=0得g(x)-t=
3
2
,或g(x)-t=0,或g(x)-t=-
3
2
,.
即g(x)=t+
3
2
,或g(x)=t,或g(x)=t-
3
2

1
2
<t<1時,由g(x)=t,得x有3個解.
g(x)=t-
3
2
∈(-1,-
1
2
)
,此時x有3個解.
g(x)=t+
3
2
∈(2,
5
2
)
,此時方程無解.所以a=3+3=6.
由g(f(x)-t)=0得f(x)-t=n,或f(x)-t=0或f(x)-t=-n.
即f(x)=t+n,或f(x)=t,或f(x)=t-n.
若f(x)=t,因為
1
2
<t<1,所以此時x有4個解.
若f(x)=t+n,因為
1
2
<t<1,0<n<1,所以若0<n<
1
2
,則
1
2
<t+n<
3
2
,此時x有4個解或2解或0個解.
對應f(x)=t-n∈(0,1)有4個解,此時b=4+4+4=12或b=4+2+4=10或b=4+0+4=8.
1
2
≤n<1
,則1<t+n<2,此時x無解.對應f(x)=t-n∈(-
1
2
1
2
),對應的有2個解或3解或4個解.
所以此時b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8.
綜上b=12或10或8或6或7.
所以a+b=18或16或14或13或12.
故D不可能.
故選D.
點評:本題主要考查復合函數的根的取值問題,利用數學結合思想是解決本題的關鍵,根據參數的不同取值要進行分類討論,綜合性較強,難度較大.
練習冊系列答案
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A.0
B.1
C.2008
D.2006

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