Question

巳知函數，，其中.
(1)若是函數的極值點，求的值；
(2)若在區間上單調遞增，求的取值范圍；
(3)記，求證：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）參考解析

試題分析：（1）由函數，所以可得，又是函數的極值點，即.
（2）因為在區間上單調遞增，所以對函數求導，然后把變量分離，求函數的最值即可.
（3）由即可得到，，按的降冪寫成二次三項的形式，然后再配方，即可得到.再用放縮法即可得到結論.
試題解析：(1)由，
得，
∵是函數的極值點，
∴，解得，經檢驗為函數的極值點，所以．
(2)∵在區間上單調遞增，
∴在區間上恒成立，
∴對區間恒成立，
令，則
當時，，有，
∴的取值范圍為．
(3) 解法1：
，令，
則
令，則，
顯然在上單調遞減，在上單調遞增，
則，則，
故．
解法2： 
則表示上一點與直線上一點距離的平方．
由得，讓，解得，
∴直線與的圖象相切于點，
（另解：令，則，
可得在上單調遞減，在上單調遞增，
故，則，
直線與的圖象相切于點），
點（1，0）到直線的距離為，
則．