Question

拋物線C：y²=

6

x，其焦點為F，過點F且與x軸垂直的直線l與C交于A、B兩點，點P為不在直線l上的任一點，且|

PA

|²+|

PB

|²=4，則|2

PA

+

PB

|²的取值范圍是（　　）

• A、（6-3

  3

  ，6+3

  3

  ）
• B、[6-3

  3

  ，6+3

  3

  ]
• C、（6-3

  3

  ，6+3

  3

  ]
• D、[6-3

  3

  ，6+3

  3

  ）

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：首先，得到|

PA

||

PB

|≤2，然后，從而得到-1＜cosθ≤-

1

2

，然后，設|

PA

|=x，則|

PB

|²=4-x，從而得到要求的范圍．

解答：解：結合題目，得

|BA

|=

6

，
∴|

BA

|2=|

PA

-

PB

|2=|

PA

|2+|

PB

|2-2

PA

•

PB

=4-2

PA

•

PB

=6，
∴4=|

PA

|²+|

PB

|²≥2|

PA

||

PB

|，
∴|

PA

||

PB

|≤2，
設向量

PA

和向量

PB

的夾角為θ，
∴cosθ=

PA • PB

| PA || PB |

≤-

1

2

，
∴-1＜cosθ≤-

1

2

，
∴|

PA

||

PB

|=

-1

cosθ

∈（1，2]，
∴|

PA

|²|

PB

|²∈（1，4]，
設|

PA

|=x，∴|

PB

|²=4-x，
∴1＜x（4-x）≤4，
∴2-

3

＜x＜2+

3

．
∴|2

PA

+

PB

|²=4|

PA

|²+|

PB

|²+4

PA

•

PB

=3|

PA

|²=3x，
∴|2

PA

+

PB

|²的取值范圍是（6-3

3

，6+3

3

）．
故選：A．

點評：本題重點考查了平面向量的基本運算、數量積的運算性質等知識，屬于中檔題．