Question

【題目】已知拋物線：（）與橢圓：相交所得的弦長為．

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設，是上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且為定值（）時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線恒過定點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設拋物線與橢圓交于，兩點，由對稱性得，代入得的值；（Ⅱ）欲求證直線恒過定點，可先根據條件求出帶參數的直線的方程，再結合為定值即可證得．

試題解析：（Ⅰ）設拋物線與橢圓交于，兩點．

由橢圓的對稱性可知，，，

將點代入拋物線中，得，

再將點代入橢圓中，得，解得．

故拋物線的標準方程為．

（Ⅱ）設點，，

由題意得（否則，不滿足），且，，

設直線，的方程分別為，，

聯立，解得，，聯立，解得，；

則由兩點式得，直線的方程為．

化簡得．①

因為，由，得，得，②

將②代入①，化簡得，得．

得，

得，

得，

即．

令，不管取何值，都有．

所以直線恒過定點．