Question

18．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是B₁D₁的中點．求證：
（1）平面A₁BD∥平面D₁B₁C；
（2）平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，可證得 A₁D∥B₁C，由直線和平面平行的判定定理可得A₁D∥平面CB₁D₁ ．同理可證A₁B∥平面CB₁D₁，由平面與平面平行的判定定理可的平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
（2）證明D₁B₁⊥平面C₁EC，即可證明平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

解答 證明：（1）因為A₁B₁∥CD，且A₁B₁=CD，所以，四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
所以，A₁D∥B₁C，又B₁C?平面CB₁D₁，且A₁D?平面CB₁D₁，
所以，A₁D∥平面CB₁D₁．
同理可證A₁B∥平面CB₁D₁，又A₁D∩A₁B=A₁，
所以，平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
（2）∵E是B₁D₁的中點，
∴D₁B₁⊥C₁E，
∵D₁B₁⊥C₁C，C₁E∩C₁C=C₁，
∴D₁B₁⊥平面C₁EC．
∵D₁B₁?平面D₁B₁C，
∴平面D₁B₁C⊥平面C₁EC．

點評 本題考查平面與平面平行、垂直的判定，直線和平面平行的性質，屬于中檔題．