Question

已知二項式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展開式中，前三項的二項式系數和是56，則展開式中的常數項為

45

256

．

Answer 1

分析：由

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，求得n，再利用二項展開式的通項公式即可求得展開式中的常數項．

解答：解：由題意可得前三項的二項式系數和是

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=56，即 1+n+

n(n-1)

2

=56，
解得 n=10．
由于二項式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 10

•x^20-2r•(

1

2

)r•x-

r

2

=(

1

2

)r•

C

r 10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=0，求得 r=8，故展開式中的常數項為 (

1

2

)8•

C

8 10

=

45

256

，
故答案為

45

256

．

點評：本題考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，求得n是關鍵，考查分析
運算能力，屬于中檔題．