Question

已知函數f(x)=

1

4

x4+

1

3

ax3-a2x2+a4(a＞0)
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）求導，根據導數大于0時原函數單調增，導數小于0時原函數單調減可得到答案．
（2）求出函數的極值點，根據圖象可得答案．

解答：解：（1）因為f'（x）=x³+ax²-2a²x=x（x+2a）（x-a）
令f'（x）=0得x₁=-2a，x₂=0，x₃=a
由a＞0時，f'（x）在f'（x）=0根的左右的符號如下表所示

所以f（x）的遞增區間為（-2a，0）與（a，+∞）f（x）的遞減區間為（-∞，-2a）與（0，a）
（2）由（1）得到f(x)極小值=f(-2a)=-

5

3

a4，f(x)極小值=f(a)=

7

12

a4
f（x）_極大值=f（0）=a⁴
要使f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個交點，如圖示
或
故只要-

5

3

a4＜1＜

7

12

a4或a⁴＜1，
即a＞

4	12 7

或0＜a＜1．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，即當導數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．