Question

【題目】設函數．

（1）求函數的最小值；

（2）設，討論函數的單調性；

（3）斜率為的直線與曲線交于、兩點，

求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在上是增函數；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（3）見解析.

【解析】

（1）對函數求導，求其單調區間，即可求出極值，可得最小值；（2）分別討論和時函數的單調性；（3）將直線斜率用表示出來，將要證的不等式轉化為證（），最后討論函數（）和（）單調性，即可證明原題.

（1），令，得

因為當時；當時，

所以當時，

（2），

①當時，恒有，在上是增函數；

②當時，

令，得，解得；

令，得，解得，

綜上，當時，在上是增函數；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減

(3) ．

要證，即證，等價于證，令，

則只要證，由知，故等價于證 (*)．

① 設，則，故在上是增函數，

∴ 當時，，即．

② 設，則，故在上是增函數，

∴ 當時，，即．

由①②知(*)成立，得證．