Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a≠0)
（I）求函數g（x）的單調遞增區間；
（II）若a＞0且函數f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出g′(x)=

-a(2x-3a)

x

，由參數a的符號不確定故需要分它的符號為正與為負兩種情況討論函數的單調增區間；
（II）求出兩個函數的導數，函數f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，故在切點處的導數相等，函數值相等，由此兩等量關系建立方程尋求問題的求解．

解答：解：（I）g′(x)=

-a(2x-3a)

x

（1）當a＞0時，由g′(x)＞0?x＜

3

2

a，考慮到x＞0得g(x)的單調遞增區間為(0，

3

2

a)
（2）當a＜0時，g'（x）＞0恒成立，故g（x）的單調遞增區間是（0，+∞）
（II）設函數f（x）與函數g（x）的圖象有公共點（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由題意：

1 2 x 2 0 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得b=

5

2

a2-3a2lna
設h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考慮到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

所以，h(a)在(0，e

1

3

]上單調遞增，在[e

1

3

，+∞)上單調遞減，
故a=e

1

3

時，h(a)即b
取得最大值

3

2

e

2

3

．…（8分）

點評：題利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題屬于第一類，本題中第二小題考查了導數的幾何意義，由于此題是一個存在性問題，首先由題設條件尋求兩個參數的函數關系，再由導數研究b最大值，解題方向多次轉換，思維量較大，運算較繁瑣，題目難度較大．