Question

已知函數f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax（x∈R，e=2.71828…是自然對數的底數），f′（0）=a．
（Ⅰ）求f′（ln2）；
（Ⅱ）證明：f（x）在（-∞，0]上為減函數，在[0，+∞）上為增函數；
（Ⅲ）記h（x）=f′（x）-f（x），求證：h（1）+h（2）+…+h（n）＜

(n+5)•3n

2(e-1)

+1（n∈N*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f′（x），根據f′（0）=-a，求出a的值，即可得到f′（ln2）的值．
（Ⅱ） 根據f′（x）=（1+x）e^x-e^-x，判斷f′（x）在（-∞，0]上小于0，f′（x）在[0，+∞）上大于0，
從而得到f（x）在（-∞，0]上為減函數，在[0，+∞）上為增函數．
（Ⅲ） 化簡h（x）的解析式，可得h（1）+h（2）+…+h（n）的解析式，拆項利用等比數列的求和公式運算化簡，
再進行放大，可得它小于

en+1

e-1

+1，再證

(n+5)•3n

2(e-1)

+1≥

6•en

2(e-1)

+1=

3en

e-1

+1＞

en+1

e-1

+1，從而得到不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax，∴f′（x）=e^x+（x-a²）e^x-e^-x-a，
∴f′（0）=e⁰+（x-a²）e⁰-e^-0-a=-a²-a=-a，∴a²=0，∴a=0，故f′（x）=e^x+xe^x-e^-x，
∴f′（ln2）=e^ln2+2•e^ln2-e^-ln2 =2+2ln2-

1

2

=

3

2

+ln4．
（Ⅱ）由（Ⅰ） f（x）=xe^x+e^-x，f′（x）=（1+x）e^x-e^-x，
當x≤-1時，f′（x）＜0；
當x＞-1時，f″（x）=（2+x）e^x+e^-x＞0，f′（x）在（-1，+∞）上遞增，而f′（0）=0，
則當-1＜x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0．
綜上，f（x）在（-∞，0]上為減函數，在[0，+∞）上為增函數；
（Ⅲ） h（x）=f′（x）-f（x）=（1+x）e^x-e^-x-xe^x-e^-x =e^x-2e^-x，
h（1）+h（2）+…+h（n）=（e-2e^-1）+（e²-2e^-2）+（e³-2e^-3）+…+（eⁿ-2e^-n）
=（e+e²+…+eⁿ）-2（e^-1+e^-2+…+e^-n）=

e(1-en)

1-e

-2

e-1(1-e-n)

1-e-1

=

e-en+1+2-2e-n

1-e

 
=

en+1+2e-n-e-2

e-1

＜

en+1+2e-n

e-1

＜

en+1

e-1

+

1

e-1

＜

en+1

e-1

+1．
而

(n+5)•3n

2(e-1)

+1≥

6•en

2(e-1)

+1=

3en

e-1

+1＞

en+1

e-1

+1．
所以，h（1）+h（2）++h（n）＜

(n+5)•3n

2(e-1)

+1（n∈N^*）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，用放縮法證明不等式，將要證的不等式的左邊放大，是解題的難點．