Question

設函數f（x）=2ax-

b

x

+lnx
（Ⅰ）若f（x）在x=1，x=

1

2

處取得極值，
    （i）求a、b的值；
    （ii）在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c最小值
（Ⅱ）當b=a時，若f（x）在（0，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．（參考數據e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（I）（i）先對函數進行求導，根據函數在x=1，x=

1

2

取得極值，則f′(1)=0，f′(

1

2

)=0，代入可求a，b的值．
（ii）轉化為c≥f（x）_min，從而求函數f（x）在區間[

1

4

，2]上的最小值，從而求c的值
（II）當a=b時，f（x）=2ax-

a

x

+lnx
①a=0符合條件
②a≠0時，分a＞0，a＜0討論f′（x）在（0，+∞）上的正負，以確定函數的單調性的條件，進而求出a的取值范圍

解答：解：（I）（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+1nx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

．（1分）
∵f（x）在x=1，x=

1

2

處取得極值，∴f′(1)=0，f′(

1

2

)=0（2分）
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

解得

a=- 1 3 b=- 1 3

∴所求a、b的值分別為-

1

3

，-

1

3

（4分）

（ii）在[

1

4

，2]存在x_o，使得不等式f（xo）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]min，
由f′(x)=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f'（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是單調遞減；
當x∈[

1

2

，1]時，f'（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是單調遞增；
當x∈[1，2]時，f'（x）＜0，故f（x）在[1，2]是單調遞減；
∴f(

1

2

)是f（x）在[

1

4

，2]上的極小值．（6分）
f(

1

2

)=

1

3

+1n

1

2

=

1

3

-1n2f(2)=-

7

6

+1n2，
且f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-1n4=1ne

3

2

-1n4，
又e³-16＞0，∴1ne

3

2

-1n4＞0，
∴[f（x）]min=f（2），∴c≥[f(x)]min=-

7

6

+1m2，∴c的取值范圍為[-

7

6

+1n2，+∞)，
所以c的最小值為-

7

6

+1n2．（9分）

（Ⅱ）當a=b時，f'（x）=

2ax2+x+a

x2

，
①當a=0時，f（x）=1nx．則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a＜0時，設g（x）=2ax2+x+a，只需△≤0，從面得a≤-

2

4

，此時f（x）在（0+∞）上單調遞減；
綜上得，a的取值范圍是(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)．（14分）

點評：本題（I）（i）考查了函數取得極值的性質：若函數在x₀處取得極值?則f（x₀）=0，但f′（x₀）=0，x₀不一定是函數的極值點，即某點的導數為0是該點為極值的必要不充分條件．
（ii）注意是“存在”x0∈[

1

4

，2]，使得c≥f（x₀）成立?c≥f（x₀）_min；
若是“任意”x∈[

1

4

，2]使得c≥f（x）恒成立?c≥f（x）_max，要區別兩種不同的情況．
（II）結合極值考查函數的單調性，需要注意分類討論的思想在解題中的應用．