Question

7．若函數f（x）在定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+1）≥f（x₀）+f（1）成立，則稱x₀為函數f（x）的“可增點”．
（1）判斷函數f（x）=$\frac{1}{x}$是否存在“可增點”？若存在，求出x₀的取值范圍； 若不存在，說明理由；
（2）若函數f（x）=lg（${\frac{a}{{{x^2}+1}}}$）在（0，+∞）上存在“可增點”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設函數 $f（x）=\frac{1}{x}$有“可增點”，則$\frac{1}{{{x_0}+1}}≥\frac{1}{x_0}+1$，⇒$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1}{{x}_{0}（{x}_{0}+1）}≤0$即x₀²（x₀+1）＜0，解出x₀即可，
（2）若$f（x）=lg（{\frac{a}{{{x^2}+1}}}）$ 在（0，+∞）上存在可增點，即有$lg\frac{a}{{{{（{{x_0}+1}）}^2}+1}}≥lg（{\frac{a}{{{x_0}^2+1}}}）+lg\frac{a}{2}$成立，即不等式$（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a≤0$在（0，+∞）上有解，記$g（x）=（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a$，分a=2，0＜a＜2，a＞2討論即可．

解答 解：（1）假設函數 $f（x）=\frac{1}{x}$有“可增點”，則$\frac{1}{{{x_0}+1}}≥\frac{1}{x_0}+1$⇒$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1}{{x}_{0}（{x}_{0}+1）}≤0$
即x₀²（x₀+1）＜0，∴-1＜x₀＜0，
所以函數$f（x）=\frac{1}{x}$ 存在可增點，∴-1＜x₀＜0．
（2）若$f（x）=lg（{\frac{a}{{{x^2}+1}}}）$ 在（0，+∞）上存在可增點，即有$lg\frac{a}{{{{（{{x_0}+1}）}^2}+1}}≥lg（{\frac{a}{{{x_0}^2+1}}}）+lg\frac{a}{2}$成立，
即$\frac{a}{{{{（{{x_0}^2+1}）}^2}+1}}≥\frac{a}{{{x_0}^2+1}}•\frac{a}{2}$，且a＞0，
依題意不等式$（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a≤0$在（0，+∞）上有解，
記$g（x）=（{a-2}）{x_0}^2+2a{x_0}-2+2a$，
當a=2時，${x_0}≤-\frac{1}{2}$，不符合條件；
 當0＜a＜2時，a-2＜0，函數g（x）開口向下，符合條件；
 當a＞2時，函數g（x）的對稱軸$x=\frac{a}{2-a}＜0$，且g（0）=2a-2＞0，所以在（0，+∞）上g（x）＞0，不符合．
綜上可得0＜a＜2．

點評 本題考查了學生的分析能力及分類討論的思想應用，同時考查了不等式及對數函數應用，屬于基礎題．