Question

已知在四面體S—ABC中，∠ASB=，∠ASC=α（0＜α＜）,∠BSC=β（0＜β＜），以SC為棱的二面角的平面角為θ.

求證：θ=π-arccos（cotα·cotβ）.

Answer 1

證明:在四面體S—ABC的棱SC上取點D，使SD=1.

過點D分別在ASC平面和BSC平面上作棱SC的垂線，交SA于E，交SB于F.連結(jié)EF.

在Rt△ESD中，ED=tanα,ES=secα.

在Rt△FSD中，F(xiàn)D=tanβ,FS=secβ.

在Rt△EFS中，EF²=ES²+FS²=sec²α+sec²β.

又顯然∠EDF=θ,

故cosθ==-cotα·cotβ,

∴θ=arccos（-cotα·cotβ）=π-arccos（cotα·cotβ）.