Question

已知：四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射影，求證：H不可能是△SBC的垂心．

Answer 1

分析：本題因不易直接證明，故采用反證法．先假設H是△SBC的垂心，連接BH，并延長交SC于D點，然后再根據已知中四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，H是點A在面SBC上的射影，得到△ABC是Rt△，然后根據結論與已知中△ABC是銳角三角形相矛盾，得到假設不成立．

解答：證明：假設H是△SBC的垂心，連接BH，并延長交SC于D點，則BH⊥SC
∵AH⊥平面SBC，
∴BH是AB在平面SBC內的射影
∴SC⊥AB（三垂線定理）
又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面內的射影
∴AB⊥AC（三垂線定理的逆定理）
∴△ABC是Rt△與已知△ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設不成立．
故H不可能是△SBC的垂心．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，三角形五心及反證法，當一個問題不易直接證明時，常使用反證法．