Question

在遞增數列{a_n}中，S_n表示數列{a_n}的前n項和，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c為常數，n∈N^*），且a₁，a₂，S₃成等比數列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若bn+an=2•(-

1

3

)n，n∈N^*，求b₂+b₄+…+b_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n+c移向，a_n+1-a_n=c，判斷出數列{a_n}為等差數列，可以求出通項公式，利用a₁，a₂，S₃成等比數列，列出關于c的方程，結合遞增數列確定c．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，所以bn=2•(-

1

3

)n-(2n-1)，b2n=2•(-

1

3

)2n-(4n-1)，利用分組求和法化簡運算即可．

解答：解：（Ⅰ）a_n+1=a_n+c，a₁=1，移向，a_n+1-a_n=c，c為常數，所以數列{a_n}為等差數列，
其通項公式為a_n=1+（n-1）c．
則a₂=1+c，S₃=1+（1+c）+（1+2c）=3+3c．…（3分）
又a₁，a₂，S₃成等比數列，所以（1+c）²=3+3c，解得c=-1或c=2．
由于{a_n}是遞增數列，舍去c=-1，故c=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，n∈N^*．
所以bn=2•(-

1

3

)n-(2n-1)，b2n=2•(-

1

3

)2n-(4n-1)．…（8分）
從而 b₂+b₄+…+b_2n=

2 9 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

-

n(3+4n-1)

2

=

1

4

(1-

1

9n

)-2n2-n，n∈N^*．…（13分）

點評：本題考查了等差數列、等比數列的定義、通項公式求解，分組求和、公式法數列求和．