Question

已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），AD⊥BC于D．
（1）若E為B、C的中點，求直線AE的方程；
（2）求△ACD外接圓的方程；
（3）求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由B與C的坐標，利用線段中點坐標公式求出E的坐標，由A與E的坐標，即可得出直線AE的方程；
（2）由AD與BC垂直，得到∠ADC為直角，利用90度的圓周角所對的弦為直徑得到AC為三角形ACD外接圓的直徑，進而確定出外接圓半徑，利用線段中點坐標公式求出線段AC的中點坐標，即為圓心坐標，由圓心與半徑寫出圓的方程即可；
（3）由B與C的坐標，得出直線BC的方程，由直線AD與直線BC垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線AD的斜率，由A的坐標與斜率寫出直線AD的方程，將直線BC與直線AD方程 聯立組成方程組，求出方程組的解即可得到D的坐標．

解答：解：（1）∵B（3，2），C（-3，-1），E為B、C的中點，
∴E（0，

1

2

），又A（2，-1），
則直線AE的方程為y-

1

2

=

-1- 1 2

2-0

（x-0），即3x+4y-2=0；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴AC為△ACD外接圓的直徑，
∵A（2，-1），C（-3，-1），
∴|AC|=

(-1+1)2+(-3-2)2

=5，即外接圓半徑為

5

2

，線段AC的中點為（-

1

2

，-1），即為外接圓心坐標，
則△ACD外接圓的方程為（x+

1

2

）²+（y+1）²=

25

4

；
（3）∵B（3，2），C（-3，-1），
∴直線BC的方程為y-2=

-1-2

-3-3

（x-3），即x-2y+1=0，
∵k_BC=

1

2

，∴k_AD=-2，
∴直線AD的方程為y+1=-2（x-2），即2x+y-3=0，
聯立兩方程得：

x-2y+1=0 2x+y-3=0

，
解得：

x=1 y=1

，
則D坐標為（1，1）．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：線段中點坐標公式，兩直線垂直時斜率滿足的關系，兩點間的距離公式，圓周角定理，以及直線的一般式方程，是一道綜合性較強的試題．