【題目】已知函數(shù)
，函數(shù)
在點
處的切線斜率為0.
（1）試用含有
的式子表示
，并討論的單調(diào)性；
（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點
，
，如果在函數(shù)圖象上存在點
，使得在點
處的切線
，則稱
存在“跟隨切線”.特別地，當
時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點
使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.
【答案】（1）
，單調(diào)性見解析；（2）不存在，理由見解析
【解析】
（1）由題意得
，即可得；求出函數(shù)
的導數(shù)
，再根據(jù)
、
、
、
分類討論，分別求出
、
的解集即可得解；
（2）假設滿足條件的
、
存在，不妨設
，
且
，由題意得
可得
，令
（
），構(gòu)造函數(shù)
（），求導后證明
即可得解.
（1）由題可得函數(shù)
的定義域為
且
，
由，整理得.
.
（ⅰ）當時，易知
，，
時.
故在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減.
（ⅱ）當
時，令
，解得
或
，則
①當
，即時，
在上恒成立，則在上遞增.
②當
，即時，當
時，；
當
時，.
所以在上單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增.
③當
，即時，當
時，；當
時，.
所以在
上單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當時，在及上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
當時，在上遞增.
當時，在及上單調(diào)遞增；在上遞減.
（2）滿足條件的、不存在，理由如下：
假設滿足條件的、存在，不妨設，且，
則
，
又
，
由題可知
，整理可得：
，
令（），構(gòu)造函數(shù)（）.
則
，
所以
在上單調(diào)遞增，從而
，
所以方程
無解，即無解.
綜上，滿足條件的A、B不存在.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】超級病菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（
）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：
（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；
（2）混合檢驗，將其中k（
且
）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為
次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（
）.
（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；
（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為
，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為
.
（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若
，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式
；
（ii）若
，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：
，
，
，
，
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點處的切線記為l2，且l1∥l2．
（1）求l1，l2之間的距離；
（2）若存在x使不等式
成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實數(shù)x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)f（x）和g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用圖①的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為
，從第三行開始，其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個數(shù)字之和。現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成，偶數(shù)換成
，得到圖②所示的由數(shù)字和組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第
行各數(shù)字的和為
，如
，則
____________
① ②
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】 設橢圓
的左焦點為
，左頂點為
，頂點為B.已知
（
為原點）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設經(jīng)過點且斜率為
的直線
與橢圓在
軸上方的交點為
，圓
同時與軸和直線相切，圓心在直線
上，且
，求橢圓的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，正四面體
底面的中心為
，
的重心為
.
是內(nèi)部一動點（包括邊界），滿足
，，不共線且點到點的距離與到平面
的距離相等.
（1）證明：
平面
；
（2）若
，求四面體
體積的最大值.
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