Question

（2012•奉賢區二模）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是P_n=P₀（1+k）ⁿ（k＞-1），其中P_n為預測期人口數，P₀為初期人口數，k為預測期內年增長率，n為預測期間隔年數．如果在某一時期有-1＜k＜0，那么在這期間人口數（　　）

A．呈上升趨勢

B．呈下降趨勢

C．擺動變化

D．不變

Answer 1

分析：由題設知P_n+1-P_n=P₀（1+k）ⁿ⁺¹-P₀（1+k）ⁿ=P₀（1+k）ⁿ（1+k-1）=P₀（1+k）ⁿ•k，由-1＜k＜0，知0＜1+k＜1．所以（1+k）ⁿ＞0．由此能求出P_n+1＜P_n．

解答：解：P_n+1-P_n=P₀（1+k）ⁿ⁺¹-P₀（1+k）ⁿ=P₀（1+k）ⁿ（1+k-1）=P₀（1+k）ⁿ•k，
∵-1＜k＜0，
∴0＜1+k＜1．
∴（1+k）ⁿ＞0．
又∵P₀＞0，k＜0，
∴P₀（1+k）ⁿ•k＜0．
即P_n+1-P_n＜0，
∴P_n+1＜P_n．
故選B．
解法二：由題意，k為預測期內年增長率，如果在某一時期有-1＜k＜0，即年增長率為負，故這期間人口數呈下降趨勢，故選B

點評：本題考查數列的應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．