Question

已知動圓過定點(,0),且與直線x=相切,其中p＞0.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;

(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當α、β變化且α+β=時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.

Answer 1

解:(1)如圖,設M為動圓圓心,(,0)記為F,過點M作直線x=的垂線,垂足為N.

    由題意知:|MF|=|MN|,即動點M到定點F與定直線x=的距離相等,由拋物線定義知:點M的軌跡為拋物線,

其中F(,0)為焦點,x=為準線,所以軌跡方程為y²=2px(p＞0).

(2)如圖,設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由題意得x₁,x₂≠0.

    又直線OA、OB的傾斜角α、β滿足α+β=,故0＜α,β＜,所以直線AB的斜率存在,否則OA、OB直線的傾斜角之和為π.

從而設直線AB方程為y=kx+b.顯然x₁=,x₂=.

將y=kx+b與y²=2px聯立消去x,得ky²-2py+2pb=0.

由韋達定理知y₁+y₂=,y₁y₂=.(*)

由α+β=,得1=tan=tan(α+β)＝

===.

將(*)式代入上式整理化簡,得b=2p+2pk.此時,直線AB的方程可表示為y=kx+2p+2pk,

即k(x+2p)-(y-2p)=0,∴直線AB恒過定點(-2p,2p).