Question

已知函數（為自然對數的底數），（為常數），是實數集 上的奇函數．

   （1）求證：；

   （2）討論關于的方程：的根的個數；

   （3）設，證明：（為自然對數的底數）．

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）①當即時,方程無根;

②當即時,方程只有一個根．

③當即時,方程有兩個根．

（3）略

【解析】（1）證:令,

       令時

時,． ∴

∴ 即．

（2）∵是R上的奇函數 

∴  ∴

∴  ∴  故．

故討論方程在的根的個數．

即在的根的個數．

令．

注意,方程根的個數即交點個數．

對, ,

令, 得，

當時,; 當時,．

∴，

當時,；  

當時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

①當即時,方程無根;

②當即時,方程只有一個根．

③當即時,方程有兩個根．

（3）由（1）知,  

令,

∴,于是,

∴

．