Question

（2011•煙臺一模）已知函數f（x）asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)=6．
（Ⅰ）求常數a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小正周期和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（

π

6

）=asin

π

6

cos

π

6

+4cos2

π

6

=6可求得a；
（Ⅱ）將f（x）化簡為f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2，即可求函數f（x）的最小正周期和最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，f（

π

6

）=asin

π

6

cos

π

6

+4cos2

π

6

=6，即a×

1

2

×

3

2

+4×(

3

2

)2=6…（3分），
解得a=4

3

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x
=2

3

sin2x+2（cos2x+1）
=4sin（2x+

π

6

）+2，…（9分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值M=4+2=6…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，考查正弦函數的定義域和值域，掌握輔助角公式將f（x）化簡為f（x）=4sin（2x+

π

6

）+2是關鍵，屬于基礎題．