Question

【題目】橢圓焦點在軸上，離心率為，上焦點到上頂點距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交與兩點，為坐標原點，的面積，則是否為定值，若是求出定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值5.

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式和兩點的距離公式，及的關系，解得，進而得到橢圓方程；

（2）設，討論直線的斜率不存在和存在，設出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于，結合三角形的面積公式，點到直線的距離公式和弦長公式，化簡整理，即可得到所求和為定值5.

（1）由題意可得，

解得，

可得，

即有橢圓的標準方程為：；

（2）設，

（1）當斜率不存在時，兩點關于軸對稱，

，

又，解得，

；

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為,

由題意知，將其代入，得

，

即有，

則，到距離，

則，

解得，滿足，

則，

即有，

，

綜上可得為定值5.