Question

設(shè)t=sinα+cosα，若sin³α+cos³α＜0，則t的取值范圍是

[-

2

，0)

．

Answer 1

分析：把已知不等式的左邊利用立方和公式分解因式，并利用完全平方公式配方后，根據(jù)完全平方式大于0及不等式小于0，判斷出sinα+cosα，然后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把sinα+cosα化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時正弦函數(shù)的最小值，即可得出t的范圍．

解答：解：∵sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＜0，而[（sinα-

1

2

cosα）²+

3

4

cos²α]＞0，
∴sinα+cosα＜0，即t=sinα+cosα＜0．
而t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴-

2

≤t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，
∴t_min=-

2

，
∴-

2

≤t＜0．
則t的取值范圍是[-

2

，0）．
故答案為：[-

2

，0）

點評：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，立方和公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．