Question

【題目】設直線 是函數f（x）=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸．
（1）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的值；
（2）求函數f（x）在[0，π]上的減區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線 是函數f（x）的圖象的對稱軸，

∴ 對x∈R恒成立．

∴ 對x∈R恒成立，

即 對x∈R恒成立，得 ．

從而 ．

故當 ，即 時，f（x）取得最大值2

（2）解：由 ，解得 ，k∈Z．

取k=0，可得f（x）在[0，π]上的減區間為

【解析】（1）利用對稱軸的性質可證明 f ( + x ) = f ( x ) 對x∈R恒成立即得，( a + ) s i n x = 0 對x∈R恒成立，解得 a的值。再利用湊角公式可得到 f ( x )= 2 s i n ( x )，由整體思想求出函數 f ( x )的最大值。（2）把x-整體代入到正弦函數的單調減區間，求出x的取值圍，令k=0，得到減區間。