Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，f（x）=3x²-2x+1，用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明它是增函數(shù)．
（2）當(dāng)x≥a時(shí)，根據(jù)f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0兩種情況，求出f（x）的最小值．當(dāng)x≤a時(shí)，根據(jù)f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0兩種情況，求出f（x）的最小值，
綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=2x²+（x-1）² =3x²-2x+1，…（1分）
則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1)=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-2]，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞2，從而得3（x₁+x₂）-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（2）∵當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，…（7分）
故 f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．…（9分）
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，…（10分）
f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．…（12分）
綜上，f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明，求函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．