Question

（2010•武漢模擬）M為△ABC內一點，過點M的一直線交AB邊于P，交AC邊于點Q，且滿足“

AB

AP

+

AC

AQ

=3”那么M一定是△ABC的（　　）

A．重心

B．垂心

C．內心

D．外心

Answer 1

分析：先考察兩種特殊情形：當P與B重合時，當Q與C重合時，直線BM和CM都過三角形某一邊的中點，再根據三角形中線段長度之間的等量關系判斷出直線AM過BC邊中點F，從而得出正確答案．

解答：解：∵P為AB邊上（除A外）的任意一點，所以當P與B重合時，
可得，

AB

AB

+

AC

AQ

=3
∴

AC

AQ

=2，
此時Q為AC邊中點，
即直線BM過AC邊中點．
同理，因為Q為AC邊上（除A外）的任意一點
∴當Q與C重合時，可得，

AB

AP

+

AC

AC

=3，
∴

AB

AP

=2，此時P為AB邊中點，
即直線CM過AB邊中點；
設D為AC邊中點，E為AB邊中點，連接ED，直線AM分別交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一條中位線，
∴

EG

BF

=

AE

AB

=

1

2

∵

EG

FC

=

EM

MC

=

DM

MB

=

ED

BC

=

1

2

，
∴

EG

BF

=

EG

FC

=

1

2

，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F為BC邊上中點，因為直線BM過AC邊中點D，直線CM過AB邊中點E，直線AM過BC邊中點F，
∴M為△ABC的重心．
故選A．

點評：本題主要考查了三角形的重心問題．解決三角形的重心問題要注意三角形的重心滿足的性質：到頂點距離等于到對邊中點的2倍．