Question

設集合A={x|x=a²-b²，a∈Z，b∈Z}，求證：對k∈Z，4k-2∉A，2k-1∈A．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：證明題,集合,推理和證明

分析：分情況討論知集合A中的元素由4的倍數或奇數構成，故4k-2∉A，再令a=k，b=k-1，可知2k-1∈A．

解答： 證明：若a，b奇偶性相同，
則a²-b²=（a+b）（a-b）；
則（a+b）、（a-b）都是偶數，
故a²-b²是4的倍數，
若若a，b奇偶性不同，
則（a+b）、（a-b）都是奇數，
則a²-b²=（a+b）（a-b）也是奇數；
故4k-2∉A；
令a=k，b=k-1；
則a²-b²=（k+k-1）（k-k+1）=2k-1；
故2k-1∈A．

點評：本題考查了集合與元素的關系的判斷，屬于基礎題．