Question

已知向量m=（cos

B

2

，

1

2

）與向量n=（

1

2

，cos

B

2

）共線，其中A、B、C是△ABC的內角．
（1）求角B的大小；
（2）求2sin²A+cos（C-A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的共線可得到cos

B

2

cos

B

2

=

1

4

，進而可得到cos

B

2

=±

1

2

，再由B是△ABC的內角確定B的范圍從而可確定

B

2

的范圍得到cos

B

2

的值，最后得到B的值．
（2）由（1）知A+C=

π

3

從而可得到C=

π

3

-A，然后代入到2sin²A+cos（C-A）中運用兩角和與差的公式進行化簡得到2sin²A+cos（C-A）=1+sin(2A-

π

6

)，再結合A的范圍可得到2sin²A+cos（C-A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

=（cos

B

2

，

1

2

）與

n

=（

1

2

，cos

B

2

）共線，
∴cos

B

2

cos

B

2

=

1

4

．
∴cos

B

2

=±

1

2

．
又0＜B＜π，
∴0＜

B

2

＜

π

2

，cos

B

2

=

1

2

．
∴

B

2

=

π

3

，即B=

2π

3

．

（2）由（1）知A+C=

π

3

，
∴C=

π

3

-A．
∴2sin²A+cos（C-A）=2sin2A+cos(

π

3

-2A)=1-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=1+sin(2A-

π

6

)．
∵0＜A＜

π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

π

2

．
∴sin(2A-

π

6

)∈（-

1

2

，1）．
∴1+sin(2A-

π

6

)∈（

1

2

，2），
即2sin²A+cos（C-A）的取值范圍是（

1

2

，2）．

點評：本題主要考查二倍角公式和向量的共線問題．考查基礎知識的綜合運用．