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【題目】如圖，在多面體中，四邊形，，均為正方形，點M是的中點，點H在線段上，且與平面所成角的正弦值為.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構造正方體，結合正方體，得，由此能證明平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

（1）證明：如圖，構造正方體，

結合正方體，得，

平面，平面，

平面．

（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，則

設，，，，，則，，，，，

，

平面的法向量，，

與平面所成角的正弦值為．

，

解得，（舍負），，

設平面的法向量，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則，

二面角的正弦值．

練習冊系列答案

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【題目】已知橢圓C:的焦距為，且C過點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設、分別是橢圓C的下頂點和上頂點，P是橢圓上異于、的任意一點，過點P作軸于M，N為線段PM的中點，直線與直線交于點D，E為線段的中點，O為坐標原點，則是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

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根據該走勢圖，下列結論正確的是（）

A. 這半年中，網民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化

B. 這半年中，網民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱

C. 從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，去年10月份的方差小于11月份的方差

D. 從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

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【題目】已知橢圓的離心率為，其左，右焦點分別為，，點P是坐標平面內一點，且，，其中O為坐標原點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點，且斜率為的動直線l交橢圓于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線在軸上截距的最大值.

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【題目】隨著人民生活水平的日益提高，某小區居民擁有私家車的數量與日俱增．由于該小區建成時間較早，沒有配套建造地下停車場，小區內無序停放的車輛造成了交通的擁堵．該小區的物業公司統計了近五年小區登記在冊的私家車數量（累計值，如147表示2016年小區登記在冊的所有車輛數，其余意義相同），得到如下數據：

編號	1	2	3	4	5
年份	2014	2015	2016	2017	2018
數量（單位：輛）	37	104	147	196	216

（1）若私家車的數量與年份編號滿足線性相關關系，求關于的線性回歸方程，并預測2020年該小區的私家車數量；

（2）小區于2018年底完成了基礎設施改造，劃設了120個停車位．為解決小區車輛亂停亂放的問題，加強小區管理，物業公司決定禁止無車位的車輛進入小區．由于車位有限，物業公司決定在2019年度采用網絡競拍的方式將車位對業主出租，租期一年，競拍方案如下：①截至2018年己登記在冊的私家車業主擁有競拍資格；②每車至多中請一個車位，由車主在競拍網站上提出申請并給出自己的報價；③根據物價部門的規定，競價不得超過1200元；④申請階段截止后，將所有申請的業主報價自高到低排列，排在前120位的業主以其報價成交；⑤若最后出現并列的報價，則以提出申請的時間在前的業主成交，為預測本次競拍的成交最低價，物業公司隨機抽取了有競拍資格的40位業主，進行了競拍意向的調查，并對他們的擬報競價進行了統計，得到如圖頻率分布直方圖：

（i）求所抽取的業主中有意向競拍報價不低于1000元的人數；

（ii）如果所有符合條件的車主均參與競拍，利用樣本估計總體的思想，請你據此預測至少需要報價多少元才能競拍車位成功？（精確到整數）

參考公式及數據：對于一組數據，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：；．

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【題目】將參加數學競賽決賽的500名同學編號為：001，002，...，500，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽到的號碼為005，這500名學生分別在三個考點考試，從001到200在第一考點，從201到365在第二考點，從366到500在第三考點，則第二考點被抽中的人數為( )

A. 15B. 16C. 17D. 18

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（1）求第四小組的頻率和該組參加這次測試的學生人數；

（2）在這次測試中，學生跳繩次數的中位效落在第幾小組內？

（3）從第一小組中選出2人，第三小組中選出3人組成隊伍代表學校參加區里的小學生體質測試，在測試的某一環節，需要從這5人中任選兩人參加測試，求這兩人來自同一小組的概率.

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【題目】四色猜想是世界三大數學猜想之一，1976年美國數學家阿佩爾與哈肯證明了四色定理．其內容是：“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色．”用數學語言表示為“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4四個數字之一標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字．”如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線圍成的各區域（如區域D由兩個邊長為1的小正方形構成）上分別標有數字1，2，3，4的四色地圖符合四色定理，區域A、B、C、D、E、F標記的數字丟失若在該四色地圖上隨機取一點，則恰好取在標記為4的區域的概率是