Question

已知點(diǎn)A（1，1）和點(diǎn)B（-1，-3）在曲線C：y=ax³+bx²+d（a，b，d為常數(shù)上，若曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線互相平行，則a³+b²+d=

7

．

Answer 1

分析：曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線互相平行得，f′（1）=f′（-1），再結(jié)合點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程建立方程組，解方程求出a、b、d值即可．

解答：解：設(shè)f（x）═ax³+bx²+d，
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b，f′（-1）=3a-2b．
根據(jù)題意得 3a+2b=3a-2b，∴b=0．
又點(diǎn)A（1，1）和點(diǎn)B（-1，-3）在曲線C上，
∴

a+d=1 -a+d=-3

解得：

a=2 d=-1

a³+b²+d=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道中檔題．