Question

已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)，滿足條件： ．

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）若點(diǎn)， 判斷三點(diǎn)是否可以構(gòu)成直角三角形？請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2），可構(gòu)成直角三角形

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）求函數(shù)極值的方法是：解方程．當(dāng)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；（3）證明垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0．

試題解析：（1）， ，又，所以曲線在

處的切線方程為，即． 2分

（2）（ⅰ）對于，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022806171707239442/SYS201502280617522612422810_DA/SYS201502280617522612422810_DA.020.png">．

當(dāng)時(shí)，，，∴； 4分

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，，∴ 6分

所以存在唯一的極值點(diǎn)，∴，則點(diǎn)為 8分

（ⅱ）若，則，與條件不符，

從而得．同理可得． 9分

若，則，與條件不符，從而得．由上可得點(diǎn)，，兩兩不重合． 10分

13分

從而，點(diǎn)，，可構(gòu)成直角三角形． 14分

考點(diǎn)：1、求曲線的切線方程；2、函數(shù)極值的應(yīng)用；3、能否構(gòu)成直角三角形．