Question

給出下列四個命題，正確的命題是    ；
①定義在R上的函數f（x），函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱；
②若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1）；
③已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤16），則函數y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，34]；
④[x]表示不超過x的最大整數，當x是整數時[x]就是x，這個函數y=[x]叫做“取整函數”．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=649．

Answer 1

【答案】分析：由函數圖象關于直線對稱的公式，可得①不正確；
用換元法結合二次函數求最值的方法，可得f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1），故②正確；
對于③，首先y=f²（x）+f（x²）的定義域為：x∈[1，4]，然后用二次函數求最閉區間上最值的方法可得函數y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，得到③不正確；
根據取整函數的定義，可得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正確．
解答：解：對于①，函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱，而不是關于y軸對稱，故①不正確；
對于②，令t=3^x，f（x）=g（t）=t²-（k+1）t+1在t＞0時函數值恒為正數
（1）當k≤-1時，函數最小值為g（0）=1＞0，符合題意；
（2）當k＞-1時，函數最小值為g（）=-+1＞0，解之得-1＜k＜1
綜上所述，可得若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，則k的范圍是（-∞，1），故②正確；
對于③，y=f²（x）+f（x²）的定義域滿足：1≤x≤16且1≤x²≤16，可得x∈[1，4]
∴y=f²（x）+f（x²）=log₂²x+4log₂x+2，其中log₂x∈[0，2]
可得當log₂x=0時，y的最小值為2，當log₂x=2時，y的最大值為14，
因此函數y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，故③不正確；
對于④，根據取整函數的定義，可得[log₂1]=0，[log₂2]=[log₂3]=1，[log₂4]=[log₂5]=[log₂6]=[log₂7]=2，
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=[log₂11]=[log₂12]=[log₂13]=[log₂14]=[log₂15]=3，…，依此類推，可得
[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正確．
點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數圖象的對稱性、二次函數求閉區間上的最值和取整函數的應用等知識點，屬于基礎題．