Question

已知數列{b_n}滿足條件：首項b₁=1，前n項之和B_n=．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列{an}的滿足條件：an=（1+） a_n-1，且a₁=2，試比較a_n與的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=B_n-B_n-1=-=3n-2，能得到數列{b_n}的通項公式．
（2）由an=（1+）a_n-1，得，an=，由a₁=2，bn=3n-2知，an=（1+）（1+）（1+）2=（1+1）（1+）（1+），由此入手，利用數學歸納法能夠證明an＞．
解答：解：（1）當n＞1時，b_n=B_n-B_n-1
=-=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+）a_n-1，得
∴an=
由a₁=2，bn=3n-2知，
an=（1+）（1+）（1+）2
=（1+1）（1+）（1+）
又==，（5分）
設c_n=，
當n=1時，有（1+1）=＞
當n=2時，有an=（1+1）（1+）=
=＞==c_n
假設n=k（k≥1）時an＞c_n成立，
即（1+1）（1+）（1+）＞成立，
則n=k+1時，
左邊═（1+1）（1+）（1+）（1+）
＞（1+）=（3分）
右邊=c_k+1==
由（ak+1）³-（c_k+1）³=（3k+1）-（3k+4）
=
=＞0，得ak+1＞c_k+1成立．
綜合上述，an＞c_n對任何正整數n都成立．（3分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列遞推公式的合理運用，合理地運用數學歸納法進行證明．