Question

已知數列{a_n}是由正數組成的等比數列，a₃=8，前3項的和S₃=14
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知數列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

n

2n

（n∈N^*），證明：{b_n}是等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等比數列{a_n}的公比為q，根據a₃=8，前3項的和S₃=14，列出關于首項和公比的方程組，消去首項得到關于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，進而求出首項的值，根據首項和公比寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（Ⅱ）令n=1代入已知的等式中，由a₁的值求出b₁的值，然后當n≥2時，已知的等式記作①，把n換為n-1得到另一個等式，記作②，①-②且由（Ⅰ）求出的a_n的通項公式即可得到b_n的通項公式，把b₁的值代入也滿足，利用b_n+1-b_n即可求出數列的公差，進而推出數列{b_n}是等差數列，得證．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
則q＞0且

a1+ a1q+a1q2=14①  a1q2=8                 ②

，
①÷②得：

1+q+q2

q2

=

7

4

，整理得：3q²-4q-4=0，
解得：q=-

2

3

（舍去），q=2，∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ（n∈N⁺）；
（Ⅱ）當n=1時，

b1

a1

=

1

2

，a₁=2，∴b₁=1，
當n≥2時，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

n

2n

①，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=

n-1

2n-1

②（n∈N^*），
①-②得：

bn

an

=

n

2n

-

n-1

2n-1

=

2-n

2n

，又a_n=2ⁿ，
∴b_n=2-n（n≥2），又∵b₁=1=2-1，∴b_n=2-n（n∈N⁺），
∵b_n+1-b_n=-1，
∴數列{b_n}是以1為首項，-1為公差的等差數列．

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，掌握等差數列的確定方法，是一道中檔題．學生在第二問中求出b_n的通項公式后要注意把b₁的值代入進行驗證．